Question

已知F是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦点，若F到双曲线C的渐近线的距离是1，且双曲线C的离心率e=

6

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若

AP

=

1

2

AQ

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的右焦点F到渐近线的距离是1，得，

bc

a2+b2

=1，根据双曲线C的离心率e=

6

2

得，

c

a

=

6

2

，再结合双曲线中a，b，c的关系，解出a，b，就求出双曲线C的方程．
（2）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设出直线l的方程，与双曲线方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根据

AP

=

1

2

AQ

得到一个关于k的等式，解k，即可求出直线l的方程

解答：解：（1）由对称性，不妨设一渐近线为y=

b

a

x，右焦点为F（c，0），
则

bc

a2+b2

=1，即b=1又e=

c

a

=

6

2

∴解得a²=2，所以双曲线C的方程是

x2

2

-y2=1；
（2）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2-2y2=2

得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，
∴

△=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= -4k 2k2-1 ＞0 x1x2= 4 2k2-1 ＞0 1-2k2≠0

∴

1

2

＜k2＜1且k＜0①
又∵

AP

=

1

2

AQ

，∴(x1，y1-1)=

1

2

(x2，y2-1)x₂=2x₁
∴3x1=

-4k

2k2-1

，3x1=

-8k

2k2-1

∴9x1x2=

32k2

(2k2-1)2

=9×

4

2k2-1

，k=±

3 10

10

满足①式．
∴直线l的方程为y=

3 10

10

x+1或y=-

3 10

10

x+1

点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及根据直线与双曲线位置求直线方程，属于圆锥曲线的常规题．