Question

设函数。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围。

Answer 1

解：（1）当b=1，c=-1，n≥2时，f（x）=xⁿ+x-1
∵f（）f（1）=（-）×1＜0，
∴f（x）在区间内存在零点，
又当x∈（，1）时，f′（x）=nx^n-1+1＞0，
∴f（x）在（，1）上单调递增，
∴f（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）由题意知，即
由图象知b+3c在点（0，-2）取到最小值-6，在点（0，0）处取到最大值0，
∴b+3c的最小值为-6，最大值为0。
（3）当n=2时，f（x）=x²+bx+c，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，
有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，等价于在[-1，1]上最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：
（i）当＞1，即|b|＞2，M=|f（1）-f（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾；
（ii）当-1≤-＜0，即0＜b≤2时，M=f（1）-f（-）=≤4恒成立，
（iii）当0≤-≤1，即-2≤b≤0时，M=f（-1）-f（-）=≤4恒成立，
综上所述，-2≤b≤2。