Question

已知函数f（x）=sin²x+sin2x+3cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调减区间；
（Ⅲ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简解析式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，即可求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ即可求得函数的单调减区间．
（Ⅲ）由已知可先求得2x+

π

4

的范围，即可求出函数f（x）的最小值．

解答： （本题10分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2cos²x+1=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)，…（2分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π．…（4分）
（Ⅱ）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ得 

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z）
∴函数的单调减区间[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）．…（7分）
（Ⅲ）由x∈[-

π

4

，

π

4

]⇒2x∈[-

π

2

，

π

2

]⇒2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]．
∴当2x+

π

4

=-

π

4

时，即x=-

π

4

时，f（x）取得最小值0．…（10分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．