Question

（2010•河东区一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁、F₂，离心率e=

2

2

，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线与椭圆交于M，N点，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

2

2

，焦距为2，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，即可求直线l的方程．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率e=

2

2

，焦距为2，
∴

c

a

=

2

2

，2c=2
∴c=1，a=

2

∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为：

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）知，F₁（-1，0），F₂（1，0），
若l斜率不存在，方程为x=-1，代入椭圆方程可得M（-1，

2

2

），N（-1，-

2

2

）
此时，|

F2M

+

F2N

|=4与已知矛盾，
l的斜率存在，设方程为y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，y₁+y₂=

2k

1+2k2

∴MN中点E为（

-2k2

1+2k2

，

k

1+2k2

）
由题意，F₂（1，0），MN中点E，∴EF₂是△MNF₂的中线
∴

F2E

=

F2M

+

1

2

MN

=

F2M

+

1

2

(

F2N

-

F2M

)=

1

2

(

F2M

+

F2N

)
∴

F2E

=

1

2

|

F2M

+

F2N

|=

26

3

∴

( -2k2 1+2k2 -1)2+( k 1+2k2 )2

=

26

3

∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1或k2=-

17

40

（舍去）
∴k=±1
∴所求直线方程为y=x+1或y=-x-1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．