Question

已知方程xe^x=2010与xlnx=2010的根分别为α和β，则αβ=（ ）
A．2010
B．2012
C．2010²
D．2012²

Answer 1

【答案】分析：方程的根就是对应函数图象的交点，也就是函数的零点，利用函数y=e^x与函数y=lnx互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．
解答：解：由题意，β是方程xlnx=2011的根，α是方程xe^x=2011的根，
所以β是方程lnx=的根，α是方程e^x═的根，
即β是函数y=lnx与y=交点的横坐标，α是函数y=e^x与y=交点的横坐标，
因为函数y=e^x与函数y=lnx互为反函数，图象关于y=x对称，所以β等于函数y=e^x与y=交点的纵坐标
即：β•α=β•=2010
故选A．
点评：本题考查对数的运算性质，指数函数与对数函数的关系，反函数的知识，考查转化思想，是中档题．