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(本小题14分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.

(1)请用分别表示|GE|、|EH|的长

(2)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?

H

 
(3)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

 

【答案】

(1)|GE|=   |EH|=

(2)当x=15时,S取得最大值

(3)当x=20时,V取得极大值,也是最大值.

此时,即包装盒的高与底面边长的比值为

【解析】第一问中利用已知的图像可知,结合正方形的特点得到。

第二问中,设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得

得到然后结合导数的思想求解最大值

第三问中,表示然后结合导数来求解体积的最值问题。

解:|GE|=   |EH|=

设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得

(2)

所以当x=15时,S取得最大值. 

(3).

得x=0(舍)或x=20.

时,;当时,

所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.

此时,即包装盒的高与底面边长的比值为

 

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