Question

11．若关于x的函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+{a}^{2}+sinx}{{x}^{2}+a}$，（a＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=8，则实数a的值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+a}$，则g（-x）=-g（x），即g（x）为奇函数，函数f（x）=a+g（x），则M+N=2a，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+{a}^{2}+sinx}{{x}^{2}+a}$=a+$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+a}$，
令g（x）=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+a}$，
则g（-x）=-g（x），即g（x）为奇函数，
令函数g（x）最大值为m，最小值为n，
则m+n=0，M=a+m，N=a+n，
故M+N=8=2a，
解得：a=4，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，函数的奇偶性，难度中档．