Question

已知向量，当x＞0时，定义函数．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，则：
①当a=1时，证明：；
②对任意θ∈[0，2π]，当2asinθ-2a+S_n≠0时，
证明：或．

Answer 1

解：由题意得（x＞0）
令x=tanα，则
由于，所以，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得，所以原函数的反函数（0＜x＜1）
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
①【法一】三角代换 令a_n=tanα_n，因为a_n＞0，且a₁=1所以
所以
由于，所以
故数列{α_n}为等比数列，其首项为，公比为，所以
于是，此处用到不等式x＜tanx
【法二】不等式放缩 因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1）
所以，则
进而，所以于是
②【法一】，所以=
由S_n＜2a，则易得，又S_n＞0
则要证或
等价于证明
化简等价于，此式在0＜S_n＜2a的条件下成立；
【法二】因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，从而从而S_n＜2a．
则易得，又S_n＞0
则要证或
等价于证明
化简等价于，此式在0＜S_n＜2a的条件下成立；
分析：（1）由题意得，令x=tanα，则，函数f（x）的值域为（0，1）．由此能求出原函数的反函数．
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以．
①【法一】三角代换：令a_n=tanα_n，因为a_n＞0，且a₁=1所以，所以，由此能够证明．
【法二】不等式放缩：因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），故，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1），所以，则，由此能够证明．
②【法一】，所以=．由S_n＜2a，能够证明证明或．
【法二】因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以，从而．由S_n＜2a，能够证明证明或．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用三角函数知识，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．