Question

（本小题满分13分）已知数列{a_n}，定义（n∈N₊）是数列{a_n}的倒均数．    （1）若数列{a_n}的倒均数是，求数列{a_n}的通项公式；（2）若等比数列{b_n}的首项为–1，公比为q =，其倒均数为V_n，问是否存在正整数m，使得当n≥m(n∈N₊)时，V_n<–16恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  m = 7．

解析:

（1）由得   ①………1分

       当n = 1时，，∴a₁ = 1．……2分

       当n≥2时，   ②

       ① – ②得，即，∴………分

       （2）b_n =,

       ……8分

       令V_n<–16得． 即n，．

       当n = 6时，2⁶ <16×6 +1，当n = 7时，2⁷ = 128，16×7 + 1 = 113，2⁷>16×7 + 1．

       下面证当n≥7(n∈N₊)时，成立．…10分

       1°当n = 7时，已证；  2°假设当n = k时，2^k>16k + 1成立，

       当n = k + 1时，=16k + 16k + 2 >16k + 16 +1 = 16(k + 1) + 1

       这就是说，当n = k + 1时，结论也成立．

       由1°，2°可知，当n≥7时，2ⁿ>16n + 1成立．故m的最小值为m = 7．

       此题也可用导数法证对成立．………13分