Question

定义双曲正弦函数y=sin hx=

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2

（e^x-e^-x），双曲余弦函数y=cos hx=

1

2

（e^x+e^-x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．

Answer 1

分析：（1）由sin hx=

1

2

（e^x-e^-x） 是奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．同理写出cos hx=

1

2

（e^x+e^-x）的性质．
（2）利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，计算求得 cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）利用两角和差的三角公式，写出sin h（x+y）、sin h（x-y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x-y ）的表达式．

解答：解：（1）sin hx=

1

2

（e^x-e^-x）  奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．
cos hx=

1

2

（e^x+e^-x） 偶函数，R上无单调，无周期性，值域为[1，+∞）．
（2）tan hx=

sinhx

coshx

；cot hx=

coshx

sinhx

；sec hx=

1

coshx

；csc hx=

1

sinhx

．
cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x-y）=sin h（x）•cos h（y）-cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x-y）=cos h（x）•cos h（y）-sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）=

tanh(x)+tanh(y)

1+tanh(x)•tanh(y)

；tan h（x-y）=

tanh(x)-tanh(y)

1-tanh(x)•tanh(y)

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，是一道基础题．