Question

f（x）=

4x2-7

2-x

，g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则a的取值范围为

1≤a≤

3

2

．

Answer 1

分析：由题意对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，即g（x）的值域包含f（x）的值域，分别求值域，转化为集合的关系问题．

解答：解：设t=2-x，则t∈[1，2]，y=4t+

9

t

-16
∴-4≤y≤-3
∴f（x）值域[-4，-3]，
∵g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），∴g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）
若0＜a≤

3

3

，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a³-2a]；
若

3

3

＜a＜1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[-2a，-2a³-2a]；
若a≥1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a]；
由条件，对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
故只须g（x）的值域包含f（x）的值域
∴

0＜a≤ 3 3 1-3a2-2a≤-4 -2a3-2a≥-3

或

3 3 ＜a＜1 -2a≤-4 -2a3-2a≥-3

或

a≥1 1-3a2-2a≤-4 -2a≥-3

∴1≤a≤

3

2

故答案为：1≤a≤

3

2

点评：本题考查函数的值域问题，任意性和存在性命题问题，考查对题目的理解和转化能力．