如图所示,质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点P从A点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步(如由A到B);当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步(如由A到C),当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步(如由A到D).在质点P转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.
(1)求质点P恰好返回到A点的概率;
(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中,用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数,求ξ的数学期望.
(1)质点P恰好返回到A点的概率为:P=P2+P3+P4=37/81.
(2)Eξ=19/7.
【解析】本试题主要是考查了古典概型概率的计算公式,以及利用独立事件的概率的乘法公式得到概率值,并且得到随机变量各个取值的概率值,从而得到分布列和期望值。
(1)先分析实验中所有的基本事件,然后利用等可能时间的概率公式得到结论。同时要结合独立试验的概率公式表示得到。
(2)利用第一问中的结论,可知ξ的可能取值为2,3,4,然后分别得到各自的概率值,求解得到。
解析:(1)投掷一次正方体玩具,每个数字在上底面出现都是等可能的,其概率为P1==.
只投掷一次不可能返回到A点;若投掷两次质点P就恰好能返回到A点,则上底面出现的两个数字应依次为:(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果,其概率为P2=()2×3=;
若投掷三次质点P恰能返回到A点,则上底面出现的三个数字应依次为:(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果,其概率为P3=()3×3=;
若投掷四次质点P恰能返回到A点,则上底面出现的四个数字应依次为:(1,1,1,1).其概率为P4=()4=.
所以,质点P恰好返回到A点的概率为:P=P2+P3+P4=++=. 6分
(2)由(1)知,质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况,且ξ的可能取值为2,3,4,
则P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,
所以,Eξ=2×+3×+4×=.
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(本题满分13分) 如图所示,质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点P从A点出发,规则如下:当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一步(如由A到B);当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步(如由A到C),
当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步(如由A到).
在质点P转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止.
(Ⅰ)求点P恰好返回到A点的概率;
(Ⅱ)在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中,
用随机变量表示点P恰能返回到A点的投掷次数,求的数学期望.
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