Question

四棱锥O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且OB=

6

，底面ABCD是菱形；点B在平面OAD内的射影G恰为△OAD的重心．
①求OA的长；
②求二面角B-OC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：①由题意及所给的图形抓住底面ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直及题中所给的线面垂直和线段长度，可以建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利进向量的知识及设BH=x，AH=y，建立x，y的方程而求解；
②有①的求证利用向量求出两半平面的法向量，利用两法向量的夹角与所求的二面角的大小之间的关系进行求解．．

解答：解：①由题意及题中的条件可以画出以下图形，并利用题中条件建立图示的空间坐标系：

设BH=x，AH=y和题中OB=

6

，有图可得图中的各个点的坐标为：H（0，0，0） D（x，0，0） B（-x，0，0） A（0，y，0） C（0，-y，0） O（-x，0，

6

） M（0，0，

6

2

）
所以利用G为三角形的重心可以得：G（0，

y

3

，

6

3

），

BG

 =(x，

y

3

，

6

3

)，

OA

=(x，y，-

6)

，

AD

=(x，-y，0)，利用BG⊥平面OAD建立方程为：

GB • OA =0 BG • AD =0

?

x2+ y2 3 =2 x2- y2 3 =0

?

x=1 y= 3

所以有图知AD=2，在直角三角形OBA中：OA=

6+4

=

10

，故OA=

10

；
②有①建立的空间坐标系可知：

OC

=(1，-

3

，-

6

)

BC

=(x，-y，0)=(1，-

3

，0)     
 

DO

=(-2x，0，

6

)=(-2，0，

，6

)

CD

=(x，y，0)=(1，

3

，0)
设平面OBC的法向量为

n1

 =(x1，y1，z1)  则

x1- 3 y1=0 x1- 3 y1 - 6 z1=0

?

n1

=(

3

，1，0)
设平面OCD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2) 则

-2x2+ 6 z2=0 x2+ 3 y2=0

?

n2

=(-

3

，1，-

2

)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

- 3 × 3 +1×1+0

2× 6

=-

6

6

，
由法向量的夹角与二面角的夹角之间的关系知道：二面角B-OC-D的平面角的余弦值为

6

6

．
故答案为：OA=

10

，所求的二面角的平面角的余弦值为

6

6

．

点评：①此问重点考查了利用图形特点及已知的条件恰当建立空间直角坐标系，还考查了准确利用条件写出各点的坐标及方程的思想解除OA的长度；
②此问在上一问的基础上，利用空间向量的夹角与二面角之间的关系准确求解．