Question

设{a_n}是单调递增的等差数列，S_n为其前n项和，且满足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？说明理由；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足bn=215-an，求数列{b_n}的前n项积的最大值．

Answer 1

分析：（I）依题意，得到等差数列{a_n}的首项与公差的方程组，解之即可求数列{a_n}的通项公式；
（II）利用（I）的数列{a_n}的通项公式可求得2k-4m=3，m，k∈N⁺，从而可得结论；
（Ⅲ）利用指数幂的运算性质可求得T_n的解析式，T_n=

2-(n- 15 2 )2+ 225 4 ，

利用复合函数的单调性即可求得（T_n）_max．

解答：解：（I）

4(3a1+ 3×2 2 d)=6a1+ 6×5 2 d (a1+d+2)2=a1(a1+12d)

解得

a1=1 d=2

或

a1=- 1 4 d=- 1 2

，因为d＞0，所以

a1=1 d=2

…（2分）
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1…（4分）
（II）若存在m，k∈N⁺，使a_m+a_m+4=a_k+2，则2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1
即2k-4m=3…（6分）
所以k-2m=

3

2

，因为m，k∈N⁺，所以k-2m=

3

2

不可能成立，
故不存在m，k∈N⁺，使a_m+a_m+4=a_k+2成立          …（8分）
（Ⅲ）由题意可得T_n=b₁•b₂•b₃…b_n=

215n-n2

=

2-(n- 15 2 )2+ 225 4 ，

∴n=7或n=8时，（T_n）_max=2⁵⁶．…（13分）

点评：本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查复合函数的性质，考查方程思想与函数性质，属于难题．