Question

已知正数x满足x+2

x

≤a(4x+1)恒成立，则实数a的最小值为

1+ 17

8

．

Answer 1

分析：设t=

x

，则t＞0，则问题等价于不等式（4a-1）t²-2t+a≥0恒成立，进而转化为t＞0时，（4a-1）t²-2t+a的最小值大于等于0，分4a-1=0，4a-1＜0，4a-1＞0三种情况进行讨论可得该二次函数的最小值．

解答：解：设t=

x

，则t＞0，则问题等价于不等式（4a-1）t²-2t+a≥0恒成立，
（1）当4a-1=0即a=

1

4

时，不等式化为-2t+

1

4

≥0，t≤

1

8

，不恒成立；
（2）当4a-1＜0即a＜

1

4

时，二次函数y=（4a-1）t²-2t+a的开口向下，对称轴为t=

1

4a-1

＜0，显然不合题意；
（3）当4a-1＞0即a＞

1

4

时，二次函数y=（4a-1）t²-2t+a的开口向上，对称轴为t=

1

4a-1

＞0，
且t=0时y=a＞0，要使（4a-1）t²-2t+a≥0恒成立，
只需△=4-4（4a-1）a≤0，即a≤

1- 17

8

或a≥

1+ 17

8

，
又a＞

1

4

，所以a≥

1+ 17

8

，
综上得实数a的最小值为

1+ 17

8

，
故答案为：

1+ 17

8

．

点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式、函数恒成立问题，解决本题的关键是通过换元转化为二次函数解决．