Question

设常数，则a=________；（a+a²+…aⁿ）=________．

Answer 1

    1
分析：（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，
（2）由a=＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则 （a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．
解答：（1）由Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（）^r，整理得Tr+1=c₄^ra^4-rx^8-r，
r=2时，即c₄²a²=，∴a=．
故答案为：．
（2）由a=，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则 （a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（ s_n=），
可知 （a+a²+…+aⁿ）=═=1．
故答案为：1．
点评：本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．
（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时，aⁿ=0，要记住无穷递降等比数列各项和公式 s_n=．在选择填空中可以加快速度．