Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n＋1＝a_n(2a_n＋1)，n∈N*．

(I)证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；

(II)在XOY平面上，设点列M_n(x_n，y_n)满足a_n＝nx_n，S_n＝n²y_n，且点列M_n在直线C上，M_n中最高点为M_k，若称直线C与x轴、直线x＝a、x＝b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x₃，x_k]上的面积；

(III)是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列M_n中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知得① 　　故② 　　②－①得 　　结合，得 　　是等差数列……2分 　　又时，，解得或 　　……3分 　　又，故……4分 　　……5分 　　(II) 　　 　　即得点 　　设，消去n，得 　　即直线C的方程为……7分 　　又是n的减函数 　　∴M1为Mn中的最高点，且M1(1，1) 　　又M3的坐标为(，) 　　∴C与x轴、直线围成的图形为直角梯形 　　从而直线C在[，1]上的面积为……10分 　　(III)由于直线C：上的点列Mn依次为 　　M1(1，1)，M2(，)，M3(，)，……，Mn()，…… 　　而 　　因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(，)……12分 　　又 　　M1M的中点为(，) 　　∴满足条件的圆存在 　　事实上，圆心为(，)，半径的圆，就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为……14分