Question

如图所示，已知P(4，0)是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.  

Answer 1

所求的轨迹方程是x²+y²=5

解析:

设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理:在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因为R是PQ的中点，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得: x²+y²=56,这就是所求的轨迹方程.