Question

已知E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁的中点，则截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  3

• C、

  5

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：因为D₁D⊥面ABCD，故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，再求解．

解答：解：因为D₁D⊥面ABCD，过D做DH⊥AE与H，连接D₁H，则∠D₁HD即为截面AEFD₁与底面ABCD所成二面角的平面角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在△D₁HD中，D₁D=1，因为△DAH～△ABE，所以DH=

DA

AE

×AB=

1

1+ 1 4

×1=

2 5

5

所以D₁H=

1+ 4 5

=

3 5

5

，所以sin∠D₁HD=

D1D

D1H

=

1

3 5 5

=

5

3

故选C

点评：本题考查二面角的做法和求解、解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力．