Question

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），若集合A={a1，a2，a3，…，am}(m∈N*)，且对任意的b∈M，存在a_i，a_j∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ₁a_i+λ₂a_j（其中λ₁，λ₂∈{-1，0，1}），则称集合A为集合M的一个m元基底．
（Ⅰ）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；
①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅱ）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；
（Ⅲ）若集合A为集合M={1，2，3，…，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．

Answer 1

分析：（I）利用二元基底的定义加以验证，可得A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底，A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．
（II）设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，计算出b=λ₁a_i+λ₂a_j的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．
（III）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当m=4时，集合A的所有情况均不可能是M的4元基底，而当m=5时，M的一个基底A={1，3，5，9，16}，由此可得m的最小可能值为5．

解答：解：（Ⅰ）①A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．理由是3≠λ₁×1+λ₂×5；
②A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一个二元基底．理由是
1=-1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3．           …3分
（Ⅱ）不妨设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，则
形如1×a_i+0×a_j（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；
形如1×a_i+1×a_i（1≤i≤m）的正整数共有m个；
形如1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个；
形如-1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．
故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
当m=4时，m（m+1）-19=1，即用基底中元素表示出的数最多重复一个．…*
假设A=a₁，a₂，a₃，，a₄为M={1，2，3，…，19}的一个4元基底，
不妨设a₁＜a₂＜a₃＜a₄，则a₄≥10．
当a₄=10时，有a₃=9，这时a₂=8或7．
如果a₂=8，则由1=10-9，1=9-8，18=9+9，18=10+8，这与结论*矛盾．
如果a₂=7，则a₁=6或5．易知A={6，7，9，10}和A={5，7，9，10}都不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄=11时，有a₃=8，这时a₂=7，a₁=6，易知A={6，7，8，11}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄=12时，有a₃=7，这时a₂=6，a₁=5，易知A={5，6，7，12}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄=13时，有a₃=6，a₂=5，a₁=4，易知A={4，5，6，13}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄=14时，有a₃=5，a₂=4，a₁=3，易知A={3，4，5，14}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄=15时，有a₃=4，a₂=3，a₁=2，易知A={2，3，4，15}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄=16时，有a₃=3，a₂=2，a₁=1，易知A={1，2，3，16}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
当a₄≥17时，A均不可能是M的4元基底．
当m=5时，M的一个基底A={1，3，5，9，16}．
综上所述，m的最小可能值为5．…14分

点评：本题以一个集合为另一个集合的m元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．