Question

已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；

(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）   

(Ⅲ)直线始终与圆相切

解析:

(Ⅰ)因为,所以c=1

    则b=1,即椭圆的标准方程为

(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x

又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)

所以,又,所以,即,

故直线与圆相切

(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切

证明:设(),则,所以,,

所以直线OQ的方程为    

所以点Q(－2,)  

所以,又,

所以,即,故直线始终与圆相切