Question

20．已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，分别求下列各式的值
（1）x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$ （2）x²+x^-2  （3）$\frac{{x}^{\frac{3}{2}+}{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{x+{x}^{-1}+3}$．

Answer 1

分析 （1）由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}-4}$．
（2）由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2．
（3）利用立方和公式可得：$\frac{{x}^{\frac{3}{2}+}{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{x+{x}^{-1}+3}$=$\frac{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x+{x}^{-1}-1）+2}{x+{x}^{-1}+3}$．

解答 解：（1）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴x${\;}^{\frac{1}{2}}$-x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}-4}$=$±\sqrt{5}$．
（2）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=3²-2=7．
∴x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=7²-2=47．
（3）$\frac{{x}^{\frac{3}{2}+}{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{x+{x}^{-1}+3}$=$\frac{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x+{x}^{-1}-1）+2}{x+{x}^{-1}+3}$=$\frac{3×（7-1）+2}{7+3}$=2．

点评 本题考查了乘法公式、指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．