Question

7．设有序集合对（A，B）满足：A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B=∅，记CardA，CardB分别表示集合A、B的元素个数，则符合条件CardA∉A，CardB∉B的集合的对数是44．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得CardA+CardB=8，进而分7种情况讨论，依次求出每种情况下的符合条件CardA∉A，CardB∉B的集合的对数，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩B=∅，则必有CardA+CardB=8，
分7种情况讨论：
①、CardA=1，则CardB=7，则集合A中必须有7，集合B中含有其他元素，
即A={7}，B={1，2，3，4，5，6，8}；有1种情况，
②、CardA=2，则CardB=6，
则集合A有2个元素，且其中必须有6，不能有2，可以在其余6个元素中任选1个，有C₆¹=6种情况，
集合B中含有其他元素，共有6×1=6种情况，
③、CardA=3，则CardB=5，
则集合A有3个元素，且其中必须有5，不能有3，可以在其余6个元素中任选2个，有C₆²=15种情况，
集合B中含有其他元素，共有15×1=15种情况，
④、CardA=4，则CardB=4，集合A、B中不能有4，不合题意；
⑤、CardA=5，则CardB=3，
则集合A有5个元素，且其中必须有3，不能有5，可以在其余6个元素中任选4个，有C₆⁴=15种情况，
集合B中含有其他元素，共有15×1=15种情况，
⑥、CardA=6，则CardB=2，
则集合A有6个元素，且其中必须有2，不能有6，可以在其余6个元素中任选5个，有C₆⁵=6种情况，
集合B中含有其他元素，共有6×1=6种情况，
⑦、CardA=7，则CardB=1，
则集合A有7个元素，且其中必须有1，不能有7，即B={7}，A={1，2，3，4，5，6，8}；有1种情况，
则一共有1+6+15+15+6+1=44种情况；
故答案为：44．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及集合交集．并集的计算，关键是理解CardA∉A，CardB∉B的含义，由此进行分类讨论．