Question

函数y=的图象上至少存在不同的三点到（1，0）的距离构成等比数列，则公比的取值范围    ．

Answer 1

【答案】分析：将函数化简整理，可得函数图象是椭圆的上半部分，而点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点．设图象上有三个点P₁、P₂、P₃满足P₁F、P₂F、P₃F构成等比数列，且公比为q，可得=q²．最后根据椭圆上一点到焦点距离的最大、最小值，讨论得到公比q的取值范围．
解答：解：将函数函数y=化简，整理得，其中y≥0
所以函数图象是椭圆的上半部分，如右图
可得a²=4，b²=3，所以c²=a²-b²=1，
所以点F（1，0）恰好是椭圆的右焦点
设图象上有三个点P₁、P₂、P₃满足P₁F、P₂F、P₃F构成等比数列，
且公比为q
即==q，所以=q²
①当q＞1时，|P₃F|≤a+c=3，|P₁F|≥a-c=1
∴q²≤3，解之得1
②当0＜q＜1时，类似①的方法可得
综上所述，可得q的取值范围是或
故答案为：[，1）∪（1，]
点评：本题给出椭圆上有三点到焦点的距离构成等比数列，求公比的取值范围，着重考查了椭圆的简单几何性质，属于中档题．