Question

直线y-ax-1=0与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

Answer 1

分析：在方程组

y-ax-1=0 3x2-y2=1

中消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．当a≠±

3

时，△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²，由△＞0得，-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

时，方程组有两组有两解，此时直线与双曲线有两个交点．由此能够导出当-

3

＜a＜

3

时，A、B两点在双曲线的两支上．

解答：解：在方程组

y-ax-1=0 3x2-y2=1

中消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0；
①当a≠±

3

时，△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²，
由△＞0得，-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

时，方程组有两组有两解，
此时直线与双曲线有两个交点，若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，
故x₁•x₂=

2

a2-3

＞0，
∴a＞

3

或a＜-

3

．
∴当-

6

＜a＜

3

或

3

＜a＜

6

时，
A、B两点在双曲线的同一支上；
当-

3

＜a＜

3

时，A、B两点在双曲线的两支上．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．