Question

13．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+5cost}\\{y=-5+5sint}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标项点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=-2sinθ．
（1）把C₁的参数方程化为极坐标系方程；
（2）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C₁的直角坐标方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出到C₁的极坐标方程．
（2）将ρ=-2sinθ代入ρ²+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，得sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出C₁与C₂交点的极坐标．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+5cost}\\{y=-5+5sint}\end{array}\right.$（t为参数），
∴曲线C₁的直角坐标方程为（x+4）²+（y+5）²=25，
∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴（ρcosθ+4）²+（ρsinθ+5）²=25，
化简，得到C₁的极坐标方程为：ρ²+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0．
（2）将ρ=-2sinθ代入ρ²+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，
化简，得：sin²θ+sinθcosθ-1=0，
整理，得sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2θ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$或$2θ-\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
由ρ≥0，0≤θ＜2π，得$θ=\frac{5π}{4}$或$θ=\frac{3π}{2}$，
代入ρ=-2sinθ，得$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{5π}{4}}\\{ρ=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{3π}{2}}\\{ρ=2}\end{array}\right.$，
∴C₁与C₂交点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$）或（2，$\frac{3π}{2}$）．

点评 本题考查参数方程与极坐标方程的互化，考查曲线的交点的极坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标方程与极坐标方程互化公式的合理运用．