Question

已知：数列是由正数组成的等差数列，是其前项的和，并且，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求不等式对一切均成立最大实数；

（Ⅲ）对每一个，在与之间插入个，得到新数列，设是数列的前项和，试问是否存在正整数，使？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

2008

解析:

(Ⅰ)设的公差为，由题意，且，      2分

，数列的通项公式为   。                     3分

(Ⅱ)由题意对均成立，     4分

记

则。

，随增大而增大，        6分

的最小值为，

，即的最大值为。      8分

(Ⅲ)，

在数列中，及其前面所有项之和为

，             10分

，即， 12分

又在数列中的项数为： ，                 13分

且，

所以存在正整数使得。      14分

(第（Ⅱ）用数学归纳法证明：∵n∈N，

∴只需证明成立。

（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立。

（ii）假设当n=k时不等式成立，即

。

那么当n=k+1时，

，

以下只需证明。

即只需证明。∵。

∴。

综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立。