Question

已知点F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（1，+∞）
• C、(2，1+

  2

  )
• D、(1，1+

  2

  )

Answer 1

分析：利用双曲线的对称性及锐角三角形∠ACF＜45°得到AF＜CF，求出A的坐标；求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．

解答：解：∵△ABC是锐角三角形
∴∠ACB为锐角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠ACF=∠BCF＜45°
∴AF＜CF
∵F为右焦点，设其坐标为（c，0）
所以A（ c，

b2

a

）
所以AF=

b2

a

，CF=a+c
∴

b2

a

＜a+c即c²-ac-2a²＜0
解得 -1＜

c

a

＜2
双曲线的离心率的范围是（1，2）
故选A．

点评：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．