Question

18．已知函数f（x）=x²和g（x）=lnx，作一条平行于y轴的直线，交f（x），g（x）图象于A，B两点，则|AB|的最小值为$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 将两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值即可得到|AB|最小值．

解答 解：设函数y=f（x）-g（x）=x²-lnx，求导数得
y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
当0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y′＜0，函数在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上为单调减函数，
当x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y′＞0，函数在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上为单调增函数，
所以当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，所设函数的最小值为$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以|AB|最小值为$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查函数最值的求法，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．