Question

（2013•朝阳区一模）由1，2，3，4，5，6，7，8，9，10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为t=（x₁，x₂，…，x₁₀），设S（t）=

10

k=1

|2x_k-3x_k+1|，其中x₁₁=x₁．
（Ⅰ）若t=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（t）的值；
（Ⅱ）求证：S（t）≥55；
（Ⅲ）求S（t）的最大值．
（注：对任意a，b∈R，||a||-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|都成立．）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据S（t）=

10

k=1

|2x_k-3x_k+1|的计算方法直接求解即可；
（Ⅱ）由对任意a，b∈R，|a+b|≤|a|+|b|及其推广可得，S（t）=|2x₁-3x₂|+|2₂-3x₃|+…+|2x₁₀-3x₁₁|≥|2（x₁+x₂+…+x₁₀）-3（x₁+x₂+…+x₁₁）|，再化简即得|x₁+x₂+…+x₁₀|从而得出结果；
（Ⅲ）先写出10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍共20个数如下：20，18，16，14，12，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3．
其中最大数之和与最小数之和的差为131，从而得到S（t）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）S（t）=

10

k=1

|2x_k-3x_k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57．…（3分）
（Ⅱ）证明：由|a+b|≤|a|+|b|及其推广可得，
S（t）=|2x₁-3x₂|+|2₂-3x₃|+…+|2x₁₀-3x₁₁|≥|2（x₁+x₂+…+x₁₀）-3（x₁+x₂+…+x₁₁）|
=|x₁+x₂+…+x₁₀|=

10(1+10)

2

=55．…（7分）
（Ⅲ）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍共20个数如下：
20，18，16，14，12，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3．
其中最大数之和与最小数之和的差为203-72=131，所以S（t）≤131，
对于t₀=（1，5，6，7，2，83，9，4，10），S（t₀）=131，
所以S（t）的最大值为131．…（13分）
注：使得S（t）取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求．

点评：本题主要考查进行简单的演绎推理、利用三角不等式求最大值等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．属于中档题．