Question

10．已知函数f（x）=x²+ax+2，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1-x²的解集；
（2）若函数g（x）=f（x）+x²+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式f（x）≥1-x²即可；
（2）根据二次函数g（x）的图象与性质，列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1＜-\frac{a}{4}＜2}\\{g（-\frac{a}{4}）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+2，a∈R；
当不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，
对应方程x²+ax+2=0有两个实数根1和2，
∴-a=1+2，即a=-3；
∴不等式f（x）≥1-x²可化为
x²-3x+2≥1-x²，
即2x²-3x+1≥0，
∴（2x-1）（x-1）≥0，
解得x≤$\frac{1}{2}$或x≥1；
∴该不等式的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x≥1}；
（2）∵函数g（x）=f（x）+x²+1=x²+ax+2+x²+1=2x²+ax+3，
且g（x）在区间（1，2）上有两个不同的零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜-\frac{a}{4}＜2}\\{g（-\frac{a}{4}）＜0}\\{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-8＜a＜-4}\\{\frac{{a}^{2}}{8}-\frac{{a}^{2}}{4}+3＜0}\\{2+a+3＞0}\\{8+2a+3＞0}\end{array}\right.$；
解得-5＜a＜-2$\sqrt{6}$，
∴实数a的取值范围是-5＜a＜-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式（组）的解法与应用问题，是综合性题目．