Question

17．已知函数f（x）=e^x-2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x＞0时，方程f（x）=kx²-2x无解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）当x＞0时，有$k=\frac{e^x}{x^2}$，令$h（x）=\frac{e^x}{x^2}$，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-2，
令f'（x）=0解得x=ln2，
易知f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
故当x=ln2时，f（x）有极小值f（ln2）=2-2ln2．…（5分）
（Ⅱ）方程f（x）=e^x-2x=kx²-2x，整理得e^x=kx²，
当x＞0时，$k=\frac{e^x}{x^2}$．…（6分）
令$h（x）=\frac{e^x}{x^2}$，则$h'（x）=\frac{{{e^x}•{x^2}-{e^x}•2x}}{x^4}=\frac{{{e^x}（x-2）}}{x^3}$，…（8分）
令h'（x）=0，解得x=2，
易得h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以x=2时，φ（x）有最小值$φ（2）=\frac{e^2}{4}$，．…（10分）
而当x越来越靠近0时，φ（x）的值越来越大，
又当x＞0，方程f（x）=kx²-2x无解，
所以$k＜\frac{e^2}{4}$..…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．