Question

已知函数.

（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（2）设，若函数存在两个零点，且实数满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在处的切线不能平行于轴．

【解析】

试题分析：（1）函数在定义域内为增函数，则其导数恒大于等于0.求导得：

.由得：.要恒成立，只需即可.接下来利用重要不等式可求出的最小值.

由题意，知恒成立，即．

（2）本题属探索性问题.对探索性问题，常用的方法是假设成立，然后利用题设试着去求相关的量.若能求出来，则成立；若无解，则不成立.

在本题中，总的方向如下：首先假设在的切线平行于轴，则是的极值点，故有.又函数存在两个零点，所以，再加上，这样有4个方程（4个未知数).接下来就试着求.若能求出，则切线能平行于轴（同时也就求出了该切线方程）；若不能求出，则切线不能平行于轴.

试题解析：（1）

由题意，知恒成立，即．

又，当且仅当时等号成立．

故，所以． 

（2）将求导得：.

存在两个零点，所以.

设在的切线平行于轴，则.

结合题意，有，

①—②得

所以由④得

所以           ……………………………………⑤

设，⑤式变为

设，

所以函数在上单调递增，

因此，，即

也就是，，此式与⑤矛盾．所以在处的切线不能平行于轴.

考点：1、函数的单调性；2、函数的零点；3、函数的导数及其应用.