Question

已知函数f(x)=6cos2

ωx

2

+

3

sinωx-3(ω＞0)，在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若f(x0)=

8 3

5

，且x0∈(-

10

3

，

2

3

)，求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），由正三角形△ABC的高为2

3

可求得BC，从而可求得其周期，继而可得ω
及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

12

]，利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的值域；
（Ⅲ）由x₀∈（-

10

3

，

2

3

）可求得（

πx0

4

+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

），从而可求得cos（

πx0

4

+

π

3

），最后利用两角和的正弦即可求得f（x₀+1）的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6cos2

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）
=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

sin（ωx+

π

3

），…3分
又由于正△ABC的高为2

3

，则BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

…5分
∴函数的值域为[-2

3

，2

3

]…6分
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

π

4

+

π

3

，

3

2

≤sin（

π

4

x+

π

3

）≤1，
3≤2

3

sin（

πx

4

+

π

3

）≤2

3

∴函数f（x）的值域为[3，2

3

]…（9分）
（Ⅲ）因为f（x₀）=

8 3

5

由（Ⅰ）有f（x₀）=2

3

sin（

πx0

4

+

π

3

）=

8 3

5

，即sin（

πx0

4

+

π

3

）=

4

5

，
 
由x₀∈（-

10

3

，

2

3

）得：（

πx0

4

+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

），
所以，cos（

πx0

4

+

π

3

）=

1-( 4 5 )2

=

3

5

…（11分）
故f（x₀+1）=2

3

sin（

πx0

4

+

π

4

+

π

3

）=2

3

sin[（

πx0

4

+

π

3

）+

π

4

]=2

3

sin[（

πx0

4

+

π

3

）cos

π

4

+cos（

πx0

4

+

π

3

）sin

π

4

=2

3

（

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

）=

7 6

5

 …13分

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数间的关系式，考查分析，转化与综合应用的能力，属于难题．