【题目】如图所示,已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.
(1)求CE的长;
(2)求证:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
【答案】
(1)解:如图所示,
以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.
∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),
B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).
设E点坐标为(0,2,t),则 =(﹣2,0,t),
=(﹣2,0,﹣4).
∵BE⊥B1C,∴
=4+0﹣4t=0.
∴t=1,故CE=1.
(2)证明:由(1)得,E(0,2,1), =(﹣2,0,1),
又 =(﹣2,2,﹣4),
=(2,2,0)
∴
=4+0﹣4=0,且
=﹣4+4+0=0.
∴ ⊥
且
⊥
,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,
又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE,即A1C⊥平面BED
(3)解:由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一个法向量.
又 =(0,2,﹣4),
∴cos< ,
>=
=
.
∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为 .
【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出 、
,利用
=0,即可求得结论;(2)证明
⊥
且
⊥
,可得A1C⊥DB,A1C⊥BE,从而可得A1C⊥平面BED;(3)由(2)知
=(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为获得较好的收益,每年要投入一定资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费(百万元),可增加销售额约为
(百万元)(
)
(1)若该公司当年的广告费控制在4百万元之内,则应该设入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大?
(2)现该公司准备共投入6百万元,分别用于广告促销售和技术改造,经预测,每设入技术改造费(百万元),可增加销售额约为
(百万元),请设计一种资金分配方案,使该公司由此获得最大收益.(注:收益
销售额
成本)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 且a2=﹣5,S5=﹣20.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求使不等式Sn>an成立的n的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA+cosA=2.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)现给出三个条件:①a=2;②B=45°;③c= .试从中选出两个可以确△ABC的条件,写出你的选择,并以此为依据求△ABC的面积.(只写出一个方案即可)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有一批材料可以建成80m的围墙,若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),且围墙厚度不计,则围成的矩形的最大面积为( )
A.200m2
B.360m2
C.400m2
D.480m2
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象与y轴的交点为(0,
),它的一个对称中心是M(
,0),点M与最近的一条对称轴的距离是
.
(1)求此函数的解析式;
(2)求此函数取得最大值时x的取值集合;
(3)当x∈(0,π)时,求此函数的单调递增区间.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示:有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n);
①f(3)=;
②f(n)= .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com