Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

2

AA1，D是A₁B₁的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁
（2）求直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ADE⊥平面ACC₁A₁，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE内一直线与平面ACC₁A₁垂直，而根据DE⊥AA₁而DE⊥AE．AA₁∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，可证平面ABC₁⊥平面C₁DF，过点D作DH垂直C₁F于点H，则DH⊥平面ABC₁，连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC₁所成的角．在三角形HAD中求出此角即可．

解答：解：（1）如图所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质知AA₁⊥平面A₁B₁C₁
又DE?平面A₁B₁C₁，所以DE⊥AA₁．
而DE⊥AE．AA₁∩AE=A所以DE⊥平面ACC₁A₁，
又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC₁A₁．

（2）如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性质及D是A₁B的中点知A₁B₁⊥C₁D，
A₁B₁⊥DF又C₁D∩DF=D，所以A₁B₁⊥平面C₁DF，
而AB∥A₁B₁，所以
AB⊥平面C₁DF，又AB?平面ABC₁，故
平面ABC₁⊥平面C₁DF．
过点D做DH垂直C₁F于点H，则DH⊥平面ABC₁．
连接AH，则∠HAD是AD和平面ABC₁所成的角．
由已知AB=

2

AA₁，不妨设AA₁=

2

，则AB=2，DF=

2

，DC₁=

3

，
C₁F=

5

，AD=

A A 2 1 +AD2

=

3

，DH=

DF•DC1

C1F

=

2 × 3

5

=

30

5

，
所以sin∠HAD=

DH

AD

=

10

5

．
即直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值为

10

5

．

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．