Question

13．如图所示，从椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，垂足为焦点F₁，若椭圆长轴一个端点为A，短轴一个端点为B，且OM∥AB．
（1）求椭圆离心率e；
（2）若F₂为椭圆的右焦点，直线PQ过F₂交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥AB，当S${\;}_{D{F}_{1}PQ}$=20$\sqrt{3}$时，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）设出M的坐标，由题意得到A，B的坐标，由OM∥AB，借助于斜率相等可得b=c，再结合隐含条件可求椭圆离心率；
（2）由PQ⊥AB求出求出PQ所在直线的斜率，写出PQ的方程，和椭圆方程联立化为关于y的一元二次方程，求出|y_Q-y_P|$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b，代入三角形的面积公式求得b值得答案．

解答 解：（1）设M（-c，y），A（a，0），B（0，b），
则有$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$．解得$y=\frac{{b}^{2}}{a}$．
∵AB∥OM，∴k_AB=k_OM，
∴-$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{-c}$，得b=c，则a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵k_AB=-$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，k_AB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_PQ=$\sqrt{2}$．
设l_PQ：y=$\sqrt{2}$（x-c）=$\sqrt{2}$（x-b），则x=$\frac{y}{\sqrt{2}}$+b，①
椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即x²+2y²=2b²，②
把①代入②得：$\frac{5}{2}$y²+$\sqrt{2}$by-b²=0，
△=2b²+10b²=12b²，
∴|y_Q-y_P|=$\frac{\sqrt{12{b}^{2}}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b．
又${S}_{△{F}_{1}PQ}$=$\frac{1}{2}$|y_Q-y_P|•|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b•2b=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b²=20$\sqrt{3}$，
∴b²=25，则a²=50．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的简单性质，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．