Question

已知{a_n}为等差数列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求数列{|a_n|}的前n项和；
（II）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和．

Answer 1

解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₂=-1，a₅=8，所以
解得a₁=-4，d=3，…（2分）
所以a_n=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此…（4分）
记数列{|a_n|}的前n项和为S_n，
当n=1时，S₁=|a₁|=4，
当n=2时，S₂=|a₁|+|a₂|=5，
当n≥3时，S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=，
又当n=2时满足此式，
综上，…（8分）
（II）记数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，由（I）可知，a₁=-4，d=3，a_n=3n-7，
则，①
，②
①-②可得
=-8+3×-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-8+3（2ⁿ⁺¹-4）-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-20-（3n-10）2ⁿ⁺¹，
故T_n=20+（3n-10）2ⁿ⁺¹…（13分）
分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=-1，a₅=8，利用等差数列的通项公式能求出a_n，由此能求出数列{|a_n|}的前n项和；（II）记数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n．则，由错位相减法可求和．
点评：本题考查数列的求和中的错位相减法求和，属中档题．