Question

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

纪念币	A	B	C	D
概率	1 2	1 2	a	a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P （ξ=i ） （i=0，1，2，3，4）中，若P （ξ=2 ）的值最大，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）其中ξ的可能取值为0，1，2，3，4，然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可；
（2）根据0＜a＜1可知P （ξ=0）＜P （ξ=1），P （ξ=4）＜P （ξ=3）只需P （ξ=2）-P （ξ=1）≥0且P （ξ=2）-P （ξ=3）≥0，解之即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）P （ξ）是ξ个正面向上的概率，其中ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
∴P （ξ=0）=C₂⁰（1-

1

2

）²C₂⁰（1-a）²=

1

4

（1-a）²，
P （ξ=1）=C₂¹•

1

2

（1-

1

2

）C₂⁰（1-a）²+C₂⁰（1-

1

2

）²C₂¹a（1-a）=

1

2

（1-a）
P （ξ=2）=C₂²•（

1

2

）²C₂⁰（1-a）²+C₂¹•

1

2

（1-

1

2

）C₂¹a（1-a）+C₂⁰（1-

1

2

）²C₂²a²=

1

4

（1+2a-2a²），
P （ξ=3）=C₂²•（

1

2

）²C₂¹a（1-a）+C₂¹•

1

2

（1-

1

2

）C₂²a²=

a

2

，
P （ξ=4）=C₂²（

1

2

）²C₂²a²=

1

4

a²．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 4 （1-a）2	1 2 （1-a）	1 4 （1+2a-2a2）	a 2	1 4 a2

∴ξ的数学期望为：Eξ=0×

1

4

（1-a）²+1×

1

2

（1-a）+2×

1

4

（1+2a-2a²）+3×

a

2

+4×

1

4

a²=2a+1．（7分）
（2）∵0＜a＜1，∴P （ξ=0）＜P （ξ=1），P （ξ=4）＜P （ξ=3）
则P （ξ=2）-P （ξ=1）=

1

4

（1+2a-2a²）-

1

2

（1-a）=-

1

4

（2a²-4a+1）≥0
P （ξ=2）-P （ξ=3）=

1

4

（1+2a-2a²）-

a

2

=-

1

4

（2a²-1）≥0
由

2a2-4a+1≤0 2a2-1≤0

，得

2- 2

2

≤a≤

2

2

，
即a的取值范围是[

2- 2

2

，

2

2

]．（12分）

点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的概率分布与数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．