Question

已知四棱锥的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点．

(1)求证：；

(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；

(3) 若四点在同一球面上，求该球的体积.

 

Answer 1

【答案】

（1）参考解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）要证明，要转到线面垂直，通过观察需证明平面.所以要证明垂直于平面两条相交直线，显然，.从而可得结论.

（2）要求直线与平面所成角的正弦值，需要找到直线与平面所成的角.通过证明平面平面.即可得到点E到平面的投影在PO（O是AC与BD的交点）上.这样就可以求出直线与平面所成的角，再通运算即可求出结论.本小题也可已建立空间坐标系来求.

（3）若四点在同一球面上，求该球的体积.依题意可得.只要把图形补齐为一个长方体.外接球的直径就是长方体的对角线长.即可求结论.

试题解析：（1）证明：由已知

,

又因为，

(2)解法一：连AC交BD于点O，连PO，由(1)知

则，为与平面所成的角.

,则

法二：空间直角坐标法，略.

(3)解：以正方形为底面，为高补成长方体，此时对角线的长为球的直径，

,.

考点：1.线线垂直.2.线面所成的角.3.割补思想.