Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₅=256；S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=2，5S₅=2S₈．
（1） 求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2） 设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，求T_n．

Answer 1

（1）设{a_n}的公比为q，由a₅=a₁q⁴得q=4，所以a_n=4^n-1．
设{b_n}的公差为d，由5S₅=2S₈得5（5b₁+10d）=2（8b₁+28d），d=

3

2

a1=

3

2

×2=3，
所以b_n=b₁+（n-1）d=3n-1．
（2）T_n=1•2+4•5+4²•8++4^n-1（3n-1），①
4T_n=4•2+4²•5+4³•8++4ⁿ（3n-1），②
②-①得：3T_n=-2-3（4+4²++4ⁿ）+4ⁿ（3n-1）
=-2+4（1-4^n-1）+4ⁿ（3n-1）
=2+（3n-2）•4ⁿ
∴T_n=（n-

2

3

）4ⁿ+

2

3