Question

18．已知函数f（x）=2^2x-2^xa-（a+1）．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a代入，得到具体指数不等式，利用换元法解之即可；
（2）利用函数有零点，得到方程有根，得到2^x=（a+1）＞0，求得a 的范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=2^2x-2^xa-（a+1）=2^2x-2×2^x-3，
所以不等式f（x）＜0可化为2^2x-2×2^x-3＜0    …（2分）
令t=2^x，则t²-2t-3＜0
解得：0＜t＜3即0＜2^x＜3
所以x＜log₂3…（5分）
所以不等式的解集为（-∞，log₂3）．…（6分）
（2）∵函数f（x）有零点
∴2^2x-2^x•a-（a+1）=0…（8分）
（2^x+1）[2^x-（a+1）]=0又2^x＞0…（10分）
∴2^x=（a+1）＞0
∴a＞-1…（12分）

点评 本题考查了指数不等式的解法以及函数零点问题；注意函数零点即对应方程的根．