Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
①求椭圆离心率e的取值范围；
②若直线PF₁与椭圆另一个交点为Q，当e=

2

2

，且△PQF₂的面积为12时，求椭圆方程．

Answer 1

分析：①根据椭圆上存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直，可得|OP|=c≥b，从而可求椭圆离心率e的取值范围；
②设出直线方程与椭圆方程，并联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式，结合△PQF₂的面积为12时，即可求出椭圆方程．

解答：解：①由△F₁PF₂是直角三角形知，|OP|=c≥b，即c²≥a²-c²，故e∈[

2

2

，1)
②设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由e=

2

2

　得：a²=2c²，b²=c²，于是椭圆方程可化为：x²+2y²-2c²=0①
直线PQ的斜率k=1，设直线PQ的方程为：y=x+c②，
把①代入②，得：x²+2（x+c）²-2c²=0，
整理得：3x²+4cx=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是上述方程的两根，且|x2-x1|=

4c

3

，|PQ|=

1+k2

|x2-x1|=

4 2 c

3

．
点F₂到PQ直线的距离为d=PF2=

2

c，
所以：S=

1

2

×

4 2 c

3

×

2

c=

4c2

3

=12  得：c²=9=b²，a²=18．
所以所求椭圆方程为：

x2

18

+

y2

9

=1．

点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查三角形面积的计算，解题的关键是直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．