Question

在数列{a_n}中，a₁=1、，且．
（Ⅰ） 求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ） 设，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有．

Answer 1

（Ⅰ） 解：（1）∵a₁=1、，且，
∴a₃==，=
故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明：
（i） 显然当n=1，2，3，4时，结论成立，
（ii） 假设当n=k（k≥4），结论也成立，即
那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知：==
即当n=k+1时，结论也成立，
综上，成立．
（Ⅱ）证明：=
所以b₁+b₂+…+b_n==
所以只需要证明
只需证明
只需证明：3n+1＜3n+2+1
只需证明0＜2，显然成立
所以对任意的自然数n∈N^*，都有．
分析：（Ⅰ） 利用数列递推式，代入计算可得a₃、a₄，由此猜想a_n的表达式，再利用数学归纳法进行证明，证明n=k+1时，由题设与归纳假设，可得结论；
（Ⅱ）先对通项化简，再用裂项法求和，进而利用分析法进行证明即可．
点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的猜想与证明，考查数列的求和与分析法证明的运用，属于中档题．