Question

6．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}，（n∈{N^+}）$的展开式中第5项系数与第三项的系数的比是10：1，
（1）求展开式中各项系数和；
（2）求展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项；
（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得n的值，在二项式中，令x=1得各项系数和．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于$\frac{3}{2}$，求出r的值，即可求得展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项．
（3）若第k+1项系数绝对值最大，则由$C_8^{k-1}•{2^{k-2}}≤C_8^k•{2^k}$$C_8^{k+1}≤C_8^k•{2^k}$，求得k的范围，可得展开式中系数最大的项．

解答 解：（1）由题意知：第五项系数为$C_n^4{（-2）^4}$，第三项系数为$C_n^2{（-2）^2}$，则由题意可得$\frac{{C_n^4{{（-2）}^4}}}{{C_n^2{{（-2）}^2}}}=\frac{10}{1}$，
解得：n=8，或（n=-3）舍去．
在二项式中，令x=1得各项系数和为（1-2）⁸=1．
（2）二项式的通项公式为 ${T_{k+1}}=C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}•{（-\frac{2}{x^2}）^k}$=$C_8^K{（-2）^k}{x^{\frac{8-k}{2}-2k}}$，
令$\frac{8-k}{2}-2k=\frac{3}{2}，则k=1$，
∴展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$的项为${T_2}=-16{x^{\frac{3}{2}}}$．
（3）设展开式中第k项，第k+1项，第k+2项系数绝对值为$C_8^{k-1}{2^{k-1}}，C_8^k•2k，C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，
若第k+1项系数绝对值最大，则由$C_8^{k-1}•{2^{k-2}}≤C_8^k•{2^k}$$C_8^{k+1}≤C_8^k•{2^k}$，求得5≤k≤6，
又∵T₆系数为负，∴系数最大项为${T_7}=1792•{x^{-11}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．