Question

17．四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE中点．CE=2，AB=2．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）求三棱锥E-ACF的体积．
（3）求二面角B-CD-F的大小．

Answer 1

分析 （1）连接OF．由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点．由三角形的中位线的性质可得OF∥DE．再由线面平行的判定可得DE∥平面ACF；
（2）利用等积法求三棱锥E-ACF的体积；
（3）由EC⊥底面ABCD，结合底面为正方形可得DC⊥BC，DC⊥CF，从而得到∠BCF为二面角B-CD-F的平面角，则二面角B-CD-F的大小可求．

解答 （1）证明：连接OF．
由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE 中点，∴OF∥DE．
又OF?平面ACF内，DE?平面ACF内，
∴DE∥平面ACF；
（2）三棱锥E-ACF的体积V_E-ACF=V_A-CEF=V_A-BCF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2=\frac{2}{3}$；
（3）∵EC⊥底面ABCD，且EC?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABCD，
又平面BCE∩平面ABCD=BC，
DC⊥BC，
∴DC⊥BC，DC⊥CF，则∠BCF为二面角B-CD-F的平面角．
在△BCF中，由$CF=BF=\sqrt{2}$，BC=2，
∴cos∠BCF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即二面角B-CD-F的大小为45°．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．