Question

14．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁，F₂，离心率是e=$\frac{1}{2}$，P点在椭圆上，△PF₁F₂的内切圆面积最大值是$\frac{4}{3}$π．
（1）求椭圆方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$D=0，求：|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|的范围．

Answer 1

分析 （1）当P为椭圆上、下顶点时，△PF₁F₂内切圆面积取得最大值，设△PF₁F₂内切圆半径为r，利用 ${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•b=bc=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r，化为bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（a+c），又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a，c，b即可得出；
（2）由题意可得直线AC，BD垂直相交于点F₁，由（1）椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，F₁（-2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0．利用根与系数的关系可得：|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，把-$\frac{1}{k}$代入上述可得：可得|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}}$，可得|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{\frac{168（1+{k}^{2}）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}$，设t=k²+1（k≠0），t＞1．即可得出所求范围．

解答 解：（1）设△PF₁F₂内切圆半径为r，
由△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$r（PF₁+PF₂+F₁F₂）=$\frac{1}{2}$r（2a+2c），
S最大，则r最大，
当P为椭圆上下顶点时，△PF₁F₂的面积最大，其内切圆面积取得最大值，
∵$\frac{4}{3}$π=πr²，∴r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•b=bc=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）r=$\frac{1}{2}$（2c+2a）×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
化为bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（a+c），
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=4，c=2，b=2$\sqrt{3}$．
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）∵$\overrightarrow{{F}_{1}A}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴直线AC，BD垂直相交于点F₁，
由（1）椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，F₁（-2，0）．
①直线AC，BD有一条斜率不存在时，|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=6+8=14．
②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0．
∴x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
把-$\frac{1}{k}$代入上述可得：可得|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{\frac{168（1+{k}^{2}）^{2}}{（4+3{k}^{2}）（3+4{k}^{2}）}}$，
设t=k²+1（k≠0），t＞1．
∴|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{\frac{168}{12+\frac{t-1}{{t}^{2}}}}$，∵t＞1，∴0＜$\frac{t-1}{{t}^{2}}$≤$\frac{1}{4}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|∈[$\frac{96}{7}$，14）．
综上可得：|$\overrightarrow{AC}$|+|$\overrightarrow{BD}$|的取值范围是[$\frac{96}{7}$，14]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于难题．