Question

5．与圆（x+2）²+y²=1及圆（x-2）²+y²=4都外切的圆的圆心的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．

Answer 1

分析 设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C₁，C₂，根据题意可知两圆心的坐标，根据所求圆与两个圆都外切进而可得PC₁|和|PC₂|的表达式，整理可得|PC₂|-|PC₁|=1，根据双曲线定义可知P点的轨迹为C₁，C₂为焦点的双曲线进而根据双曲线的性质可求得双曲线的方程．

解答 解：设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C₁，C₂，
∵所求圆与两个圆都外切，
∴|PC₁|=r+1，|PC₂|=r+2，
即|PC₂|-|PC₁|=1，
根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C₁，C₂为焦点的双曲线，2c=4，c=2；2a=1，a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
∴P点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1（x＜0）．

点评 本题主要考查点的轨迹方程及双曲线的性质．常用方法是直接法，定义法，代入转移法等．