Question

已知椭圆：的离心率等于，点在椭圆上.

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设椭圆的左右顶点分别为,,过点的动直线与椭圆相交于,两点，是否存在定直线：，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(I)   

(Ⅱ) 存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.

【解析】

试题分析：（1）由，

又点在椭圆上，，所以椭圆方程：；    

（2）当垂直轴时，，则的方程是：，

的方程是：，交点的坐标是：，猜测:存在常数,

即直线的方程是:使得与的交点总在直线上,

证明：设的方程是，点，

将的方程代入椭圆的方程得到：，

即：，

从而：，      

因为：，共线，所以：，，

又，要证明共线，即要证明，    

即证明：，即：，

即：因为：成立，

所以点在直线上.综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的方程是否存在，综合性强，难度大，有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用