Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=90°．M是BB₁的中点，N在BD上，3BN=ND
（Ⅰ）证明：MN∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）求二面角D-A₁A-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中点H，BC的中点G，可以先得HG∥平面DA₁C₁以及可证得MG∥平面DA₁C₁，进而得到平面MGH∥平面DA₁C₁
从而得到结论；
（Ⅱ）先根据条件得到∠DAC是二面角D-A₁A-C的平面角；在通过求其边长即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中点H，BC的中点G，连接MH、HG、MG，
∵3BN=ND∴N是OB的中点
∴MG过N点∵HG∥AC，AC∥A₁C₁
∴HG∥A₁C₁  
又∵HG不在平面DA₁C₁，A₁C₁?平面DA₁C₁
∴HG∥平面DA₁C₁
同理可证得MG∥平面DA₁C₁  
又∵MG∩HG=G
∴平面MGH∥平面DA₁C₁
∵MN?平面MGH
∴MN∥平面DA₁C…（7分）
（Ⅱ）∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD 且两平面的交线为AC，又∠A₁AC=90°
∴A₁A⊥平面ABCD
∴A₁A⊥AC，A₁A⊥AD
∴∠DAC是二面角D-A₁A-C的平面角
∵四边形ABCD是菱形   且∠ABC=60°，
∴∠BAC=120°，又因为菱形对角线平分内角，
∴∠DAC=60°
∴二面角D-A₁A-C的大小为60⁰．

点评：本题主要考察与二面角以及线面平行得证明有关的立体几何综合题．一般在证明线面平行时，转化为证面面平行．